Ce chapitre du cours de mathématiques, au programme des première et terminale S ainsi que des terminales ES, est souvent détesté des élèves qui y voient une partie du cours compliquée. En réalité, on s'aperçoit que si l'élève suit scrupuleusement une méthode générale, les variations de la fonction n'ont alors plus de secret pour le lycéen.

En outre, ce chapitre est très souvent l'objet d'un exercice du baccalauréat puisqu'il permet d'évaluer un grand nombre de compétences en un seul exercice : ensembles de définition, dérivées, limites, asymptotes, construction graphique, etc.

Voici une méthode générale qui pourra vous aider dans la résolution de ces exercices tant appréciés des rédacteurs du baccalauréat.

Méthode générale pour trouver les variations d'une fonction : L'ensemble de définition

  • Donner l'ensemble de définition de la fonction f si ce dernier n'est pas précisé dans l'énoncé. Pour ce faire, il est nécessaire de se poser la question suivante : pour quelles valeurs la fonction f n'est-elle pas définie ? Par exemple, si une division par (x-2) apparaît dans la fonction, la valeur x=2 sera interdite puisque la division par 0 est impossible. Un autre exemple : si dans la fonction, vous avez un ln (x+4), alors f sera définie pour (x+4)>0, soit x>-4. Enfin, un dernier exemple, si l'on a racine (x+2) dans f, la fonction sera définie pour x>=-2. Attention, donc, au dénominateurs, aux racines et aux logarithmes.

Méthode générale pour trouver les variations d'une fonction : Tableau de signe de f'.

  • Calculer f'(x). Attention aux erreurs de calcul qui fausseraient tous les résultats ultérieurs. Si vous possédez une calculatrice qui permet de dériver une expression littérale, vérifiez votre résultat à la machine. Il est nécessaire de connaître sur le bout des doigts les formules de dérivation du type (uv)'=u'v+uv' ou (u/v)'=(u'v-uv')/v².
  • Factoriser f'(x) pour obtenir un produit ou quotient de facteurs de premier degré (type ax+b) ou de second degré (type ax²+bx+c). Cette factorisation est souvent évidente. Si elle ne l'est pas, c'est que vous avez certainement fait une erreur de signe lors de l'étape précédente. Encore une fois, si votre calculatrice vous permet la factorisation d'expressions littérales, utilisez-la pour vérifier votre résultat.
  • Étudier les signes des différents facteurs de l'expression de f'(x). Cherchez tout d'abord les racines (les valeurs de x pour lesquelles le facteur s'annule), puis étudiez le signe du facteur. Un facteur de premier degré (du type ax+b) s'annule pour x=-b/a et il est du signe de a après la racine (du signe contraire de a avant la racine). Pour un facteur de second degré (du type ax²+bx+c), le nombre de racines et le signe vont dépendre du discriminant delta. Si delta<0, alors le polynôme ne possède aucune racine et le facteur sera du signe de a partout. Si delta=0, le polynôme possède une racine unique, de valeur -b/2a, et le facteur sera du signe de a avant et après la racine. Si delta>0, le polynôme admet deux racines, (-b-rac(delta))/2a et (-b+rac(delta))/2a, et le signe du polynôme de second degré sera celui de a à l'extérieur des racines et celui de -a entre les racines. Synthétisez tout ceci dans un tableau de signe, avec un seul facteur par ligne. Déduisez-en le signe de f' en fonction de x.

Méthode générale pour trouver les variations d'une fonction : Tableau de variations de f

  • Dans une ultime ligne du tableau de signe, étudiez les variations de f en utilisant les propriétés suivantes : si f'(x)<0 sur un intervalle J, alors f est décroissante sur J ; si f'(x)=0 sur un intervalle J, alors f est constante sur J ; si f'(x)>0 sur un intervalle J, alors f est croissante sur J.
  • Trouver les valeurs des minima et maxima locaux de f, ainsi que des limites aux extrémités de l'ensemble de définition et aux valeurs interdites. Trouver les asymptotes, si jamais elles existent et si celles-ci sont évidentes (horizontales, verticales et obliques).
  • Tracer f. Pour tracer f, suivez une méthode très rigoureuse : placez dans un premier temps les points que vous connaissez (en faisant une petite croix sur le graphique). Ensuite, placer les doubles flèches symbolisant les extrema locaux (f'(x)=0) sur les points déjà placés. Enfin, tracez les différentes asymptotes. Il ne reste plus qu'à tracer f en lisant tout simplement le tableau de signe. Encore une fois, vérifiez l'allure de votre courbe avec celle donnée par votre calculatrice.
Voir un résumé de la méthode globale ici.