À quoi peuvent bien servir ces critères de divisibilité? Par exemple, lorsque vous vous partagez une somme en 7. Par exemple, vous devez partager 21€ en sept parts égales, sans inclure de pièces jaunes: facile, vous donnez 3€ à chaque personne. Mais si vous devez partager 343€? Pourriez-vous résoudre ce problème sans calculette?

Qu'est-ce qu'un critère de divisibilité?

Un critère de divisibilité vous permet de savoir facilement et rapidement si a est divisible par b, a et b étant des nombres entiers naturels (entiers positifs). Si b=2, par exemple, il est évident qu'il faut que a soit pair pour que ce dernier soit divisible par b. Mais si b=8? Nous verrons ici tous les cas où b est inférieur ou égal à 10.

De plus, ces critères de divisibilité par des nombres inférieurs à 10 vous permettront de savoir très rapidement si un nombre a, inférieur ou égal à 100, est premier ou non. En effet, un nombre est dit premier s'il n'est divisible que par 1 ou par lui-même. Autrement dit, un nombre est dit premier s'il n'est divisible par aucun nombre entier inférieur ou égale à sa racine.

Les critères de divisibilité pourront aussi vous servir à calculer un PGCD assez rapidement, sans utiliser la méthode de l'algorithme d'Euclide ou la méthode soustractive. Ils pourront aussi vous servir à simplifier une fraction assez rapidement. Bref, un bon nombre de raisons d'apprendre ces critères de divisibilité!

Les critères évidents de divisibilité: 1, 2, 5, 10

Voici les plus simples. Ils sont triviaux mais méritent tout de même un rappel...

  • Divisibilité par 1: Tout nombre entier naturel est divisible par 1.
  • Divisibilité par 2: Tout nombre entier naturel pair est divisible par 2. En d'autres termes, un nombre a est divisible par 2 si et seulement si le chiffre des unités de a est pair, soit 0, 2, 4, 6 ou 8. Ainsi, 45821536 est pair car son chiffre des unités, 6, est pair.
  • Divisibilité par 5: Tout nombre entier naturel dont le chiffre des unités est 0 ou 5 est divisible par 5.
  • Divisibilité par 10: Tout nombre entier naturel dont le chiffre des unités est 0 est divisible par 10.

Les critères usuels de divisibilité: 3, 6, 9

Ces trois critères de divisibilité sont très importants à retenir et peuvent servir très souvent.

  • Divisibilité par 3: Tout nombre entier naturel, dont la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3, est divisible par 3. Par exemple, 19767 est divisible par 3 car 1+9+7+6+7=30 est divisible par 3 (3x10).
  • Divisibilité par 6: Tout nombre entier naturel divisible par 2 et par 3 est divisible par 6. Ainsi, 31446 est divisible par 6 car divisible par 2 (nombre pair) et par 3 car 3+1+4+4+6=18 est divisible par 3. Un autre critère de divisibilité par 6 existe: un nombre est divisible par 6 si et seulement si la somme de son chiffre des unités avec le quadruple de la somme de ses autres chiffres qui le constituent est divisible par 6. 31446 est donc divisible par 6 car 6+4x(3+1+4+4)=54 est divisible par 6 (6x9).
  • Divisibilité par 9: Tout nombre entier naturel, dont la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9, est divisible par 9. Ainsi, 511578 est divisible par 9 car 5+1+1+5+7+8=27 est divisible par 9.

Les critères de divisibilité moins évidents: 4, 7, 8

Ces trois critères, et notamment le critère de divisibilité par 7, sont très efficaces.

  • Divisibilité par 4: Tout nombre entier naturel se terminant par un nombre à 2 chiffres divisible par 4, est divisible par 4. Par exemple, 84532 est divisible par 4 car 32 est divisible par 4.
  • Divisibilité par 7: Pour 7, trois méthodes existent. La première est la suivante: un nombre est divisible par 7 si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est divisible par 7. Ainsi, 46123 est divisible par 7 car 4612-2x3=4606 est divisible par 7 car 460-2x6=448 est divisible par 7 car 44-2x8=28 est divisible par 7 (7x4). La deuxième méthode est adaptée aux plus grands chiffres: on découpe le nombre a en parts de trois en partant de la fin. Puis on insère alternativement des + et des - entre les parts, en partant d'un. On effectue l'opération: si le résultat est divisible par 7, alors, a est divisible par 7. Exemple avec 3650206. On découpe en parts de 3 en partant du chiffre des unités: 3|650|206. On insère les + et les - en commençant par un - et on effectue l'opération: 3-650+206=441. 441 est divisible par 7 car 44-2x1=42 est divisible par 7. Donc 3650206 est divisible par 7. Le troisième critère est beaucoup plus compliqué: il va falloir découper le nombre a en parts de 2, puis rechercher les distances entre chaque nombre de deux chiffres et le multiple de 7 le plus proche de ce nombre, alternativement par défaut et par excès. Puis, si le nombre formé par ces distances (écrites en sens inverse) est divisible par 7, alors a est divisible par 7. Exemple avec 4102. On découpe: 41|02. Le multiple de 7 le plus proche de 02, par défaut, est 0, avec comme distance 2. Ensuite, le multiple de 7 le plus proche de 41, par excès, est 42, avec comme distance 1. 4102 est donc divisible par 7 si et seulement si 21 (distances inversées) est divisible par 7, ce qui est le cas.
  • Divisibilité par 8: Tout nombre entier naturel se terminant par un nombre à 3 chiffres divisible par 8, est divisible par 8. Par exemple, 802688 est divisible par 8 car 688 est divisible par 8 (pas forcément évident, mais faisable de tête: 640 est trivialement divisible par 8, et 48 est divisible par 8, donc 688 est divisible par 8).